Question

Доказать (указав $N(\mathcal{E})$), что $\lim_{n \to \infty} \frac{1+3n}{6-n}=-3$. Определить свойства данной функции ($f(n)$): ограниченность, возрастание, убывание (строить график не нужно).

Answer 1

$\forall \varepsilon>0~~\exists N(\varepsilon)~~:~~\forral n>N(\varepsilon)~~\left|\dfrac{1+3n}{6-n}+3\right|<\varepsilon\\ \\ \\ \left|\dfrac{1+3n+18-3n}{6-n}\right|<\varepsilon\\ \\ \\ \left|\dfrac{19}{6-n}\right|<\varepsilon~~~~\Leftrightarrow~~~ 19\left|\dfrac{1}{n-6}\right|<\varepsilon\\ \\ \\ \dfrac{1}{n-6}<\dfrac{\varepsilon}{19}~~~\Rightarrow~~~ n-6>\dfrac{19}{\varepsilon}\\ \\ \\ n>\dfrac{19}{\varepsilon}+6$

Округлив результат, получим $n>\left[\dfrac{19}{\varepsilon}+6\right]$

Для сколько угодной мало окрестности $\varepsilon$  точки a = -3 нашлось значение $N(\varepsilon)=\left[\dfrac{19}{\varepsilon}+6\right]$, такое что $\forall n>N(\varepsilon)$ выполнено неравенство $\left|\dfrac{1+3n}{6-n}+3\right|<\varepsilon$, следовательно, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1+3n}{6-n}=-3$

Функция $f(n)$ ограничена сверху на множестве $n \in (6;+\infty)$ и снизу на множестве $n \in (-\infty;6)$. Функция возрастает на всей числовой прямой, кроме n = 6, поскольку $f'(n)=\dfrac{19}{(n-6)^2}>0$