Question

Натуральные числа a и b таковы, что число 190a + 14b делится на 11, а число 140a + 64b делится на 61. Найдите наименьшее возможное значение выражения 201a + 13b

Answer 1

Ответ:

2023

Пошаговое объяснение:

остаток от деления на 11

190 % 11 = 3

14 % 11 = 3

сводится к тому что бы

3a+3b делилось на 11

или a+b должно делиться на 11

{a,b} = {1,10} {2,9} и т.д.

остаток от деления на 61

140 % 61 = 18

64 % 61 = 3

сводится к тому что бы

18a+3b делилось на 61

или 6a+b делится на 61

решим систему при минимальных a b

$\left \{ {{a+b=11m} \atop {6a+b=61n}} \right.$

откуда должна соблюдаться делимость mod(n-m) на 5

n=1, m=1 => a=10, b=1 => 201a+13b = 2010+13=2023

n=2, m=7 => a=9, b=68 => 201a+13b = 2693

n=3, m=13 =>a=8, b=135 => 201a+13b = 3363

с возрастанием n растёт 201a+13b

Итого a=10, b=1 => 201a+13b = 2010+13=2023