Question

Докажите,что медиана треугольника меньше за полсуммы сторон,между которыми она размещена,и больше от разницы между этой полсуммою и половиной третьей стороны

Answer 1

Пусть в треугольнике ABC проведена медиана M - середина AB, K - середина AC, N - середина BC.
1. Докажем, что AN < AM + AK. Из треугольника AMN AN2.Теперь докажем, что AN>AM+AK-BN, или AN+BN>AM+AK. Из треугольника ANB AN+BN>2AM. Из треугольника ANC AN+NC>2AK, но NC=BN, поэтому AN+BN>2AK. Складываем эти два неравенства и получаем 2AN+2BN>2AM+2AK, или AN+BN>AM+AK, ч.т.д.