Question

найти обратную функцию !с объяснением!

(ex+e-x)/2

Answer 1

Ответ:

$y = \ln (x б \sqrt{x^2 - 1})$

Объяснение:

Для функции $y = f(x)$ говорят, что есть обратная функция, если существует такая функция $f^{-1}(x)$, что справедливо:

$x = f^{-1}(y)$ (проще говоря, когда по значению функции можно определить, к какому иксу оно соответствует)

Определение обратной функции по шагам.

1. Записать функцию в явном виде $y = f(x)\\y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
2. Выразить x через y: $2y = e^{x} + e^{-x}\\e^{2x} - 2ye^{x} + 1 = 0\\D = 4y^2 - 4\\e^{x} = \frac{2y б 2\sqrt{y^2-1}}{2}\\e^{x} = y б \sqrt{y^2 - 1}\\x = \ln (y б \sqrt{y^2 - 1})$
3. Меняем y и x местами: $y = \ln (x б \sqrt{x^2 - 1})$

Немного поясню 2 шаг: во 2 шаге мы выражаем переменную как решение квадратного уравнения (т.е. за переменную мы обозначаем функцию-экспоненту), а дальше находим дискриминант и по формуле корней квадратного уравнения находим