Question

Вычислите двойной интеграл , предварительно перейдите к полярным координатам.

Answer 1

$\iint \limits _{G}\, x\, dx\, dy=[\; x=rcos\phi \; ,\; dxdy=rdrd\phi \; ,\; r=1\; ]=\int\limits_{\pi /2}^{2\pi }\, d\phi \int\limits^1_0\, r\, cos\phi \cdot r\, dr=\\\\=\int\limits_{\pi /2}^{2\pi }\, cos\phi \, d\phi \int\limits^1_0\, r^2\, dr=\int\limits_{\pi /2}^{2\pi }\, cos\phi \, d\phi \Big (\frac{r^3}{3}\Big )\Big |_0^1=\frac{1}{3}\int\limits_{\pi /2}^{2\pi }\, cos\phi \, d\phi =\\\\=\frac{1}{3}\cdot sin\phi \Big |_{\pi /2}^{2\pi }=\frac{1}{3}\cdot (sin2\pi -sin\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{3}$