Question

При каком n∈N число (1+i)^6n является целым положительным? целым отрицательным? мнимым числом?

Answer 1

1 + i = √2 (cos(π/4) + i*sin(π/4))

(1 + i)^(6n) = 8^n ( cos(3πn/2) + i*sin(3πn/2) ) = 8^n ( cos(πn/2) - i*sin(πn/2) )

Видно, что cos(πn/2) и sin(πn/2) при любых целых n принимают значения {-1, 0, 1}, т.е. являются целыми

(1 + i)^(6n) является

- целым положительным, когда cos(πn/2) = 1 и sin(πn/2) = 0, т.е. при n = 4k

- целым отрицательным, когда cos(πn/2) = -1 и sin(πn/2) = 0, т.е. при n = 4k-2

- мнимым, когда cos(πn/2) = 0, т.е. при n = 2k-1