Question

!СРОЧНО!
Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 2019?

Answer 1

$1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 2019=2019!$

Найдем сколько раз приходится число 2 в факториал 2019

$\Big[\dfrac{2019}{2}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{4}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{8}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{16}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{32}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{64}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{128}\Big]+\\ \\ \\ +\Big[\dfrac{2019}{256}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{512}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{1024}\Big]=1009+504+252+126+63+31+\\ \\ \\ +15+7+3+1=2011$

В разложении числа $2019!$ количество двоек - 2011.

Теперь подсчитаем количество пятерок в факториал 2019

$\Big[\dfrac{2019}{5}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{25}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{125}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{625}\Big]=403+80+16+3=502$

Следовательно, $2019!=2^{2011}\cdot 5^{502}\cdot A=10^{502}\cdot 2^{1509}\cdot A$, где А - множитель. Отсюда видим, что произведение $1\cdot 2\cdot...\cdot 2019$ заканчивается 502 нулями.

Ответ: 502 нулями.