Question

В равнобокой трапеции длина боковой стороны 2d , длины оснований 5d  и 7d. Найдите углы трапеции.

 

В параллелограмме ABCD известно, что угол A=60 градусам, AB = 10, AD =16.Найдите расстояния от вершин B и D до биссектрисы угла BCD.

 

В ромбе ABCD биссектриса угла DCA перпендикулярна стороне AD.Найдите углы ромба.

 

Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что треугольник AMD равносторонний. Найдите угол AMB.

 

Биссектриса угла C параллелограмма ABCD пересекает сторону  AD в точке M и продолжение стороны AB за точку A в точке N.Найдите периметр параллелограмма, если AN=4, DM=3.

 

ВСЕ ЗАДАНИЯ РЕШЕТЬ НЕ ЧЕРЕЗ СИНУСЫ И КОСИНУСЫ!!!

Answer 1

1  В равнобокой трапеции ABCD: AB=CD= 2d, BC= 5d, AD= 7d. 
Проведем СК параллельно АВ, тогда АК=ВС=5, АВ=СК=2d, ΔCKD равносторонний CK=CD=KD=2d,  уголD=60°, угол А=углуD=60°, угол В=углуС=180°-60°=120°.
2  В параллелограмме биссектриса СР угла BCD образует равнобедренный треугольник PCD ($angle1= angle2=30к; angle1= angle3; Rightarrow angle2= angle3=30к;$) $DH perp CP$, $DH= frac{1}{2}CD=frac{1}{2}*10=5$ как катет лежащий против угла 30 в треугольнике CHD.  
$BM perp CP$, $BM= frac{1}{2}BC=frac{1}{2}*16=8$ как катет лежащий против угла 30 в треугольнике BMC. 
3  В ромбе ABCD биссектриса CH угла DCA образует два равных прямоугольных треугольника ACH и DCH, при этом $angle4= angle3;angle1: angle3=1:2;$
$angle1=30к;angle3=60к;$ Тогда в ромбе $angle A =angle C=120к; angle B =angle D=60к;$
4  треугольник AMD равносторонний, $angle MAD=60к;$, тогда 
$angle MAB=30к;$ Треугольник BAM равнобедренный, АВ=АМ, тогда $angle AMB= frac{1}{2}(180-30)=75к;$
5  $angle1= angle2=; angle1= angle3; Rightarrow angle2= angle3$, треугольник MCD равнобедренный, MD=CD=3,  $angle3=angle4$,  $angle2=angle5$, как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD, треугольник NAM равнобедренный, AM=AN=4.
Тогда ВС=AD=7, АВ=CD=3, периметр $P=2*(7+3)=20$.

cd19bfaf0429bbdfa49f588da372362c.docx