Question

На материальную точку, совершающую прямолинейное движение, действует сила F, равномерно убывающая в течение t0=10с. Какой путь она пройдёт за это время, если начальная скорость равна нулю, а начальное ускорение a0.

Answer 1

Ответ:

$S = \frac{a_o}{2} \cdot t_o^2 - \frac{\beta}{6} \cdot t_o^3 = \frac{t_o^2}{6} ( 3 a_o - \beta t_o )$  , где $\beta$  параметр уравнения:  $F(t)=ma_o-m\beta t=m ( a_o - \beta t )$ .

Считя, что сила в конце заданного интервала времени угасает полностью, мы получаем дополнительный краевой критерий и параметр  $\beta$  вычисляется, при этом:

$S = \frac{a_ot_o^2}{3} = \frac{100}{3}$  сек²  $\cdot a_o = 33.3$  сек²  $\cdot a_o$  ;

*** гармоническое решение:  $S = \frac{400}{\pi^2}$  сек²  $\cdot a_o = 40.5$  сек²  $\cdot a_o$  .

Объяснение:

Силу, действующую на материальную точку, можно выразить линейной функцией:

$F(t)=F_{HA}-\alpha t$  , где  $F_{HA}$  – начальная сила.

Ускорение:

$a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{F_{HA}}{m} - \frac{\alpha}{m} \cdot t$  ;

Обозначим:  $\frac{\alpha}{m} = \beta$  и, поскольку:  $\frac{F(t)}{m} = a_o$  , то:

$a(t) = a_o - \beta t$  ;

Интегрируем для скорости:

$v(t) =\int a(t)dt = a_o t - \frac{\beta}{2} \cdot t^2 + C$  ;

Из начальных условий:

$v(0) = C = 0$  ;

Тогда:

$v(t) = a_o t - \frac{\beta}{2} \cdot t^2$  ;

Интегрируем для координаты:

$x(t) = \int v(t)dt = \frac{a_o}{2} \cdot t^2 - \frac{\beta}{6} \cdot t^3 + C$  ;

$S = x(t_o)-x(0) = \frac{a_o}{2} \cdot t_o^2 - \frac{\beta}{6} \cdot t_o^3 = \frac{t_o^2}{6} ( 3 a_o - \beta t_o )$  ;

Мы не знаем величину  $\beta$  . Если предположить, что в конце движения, при  $t_o = 10$  сек, сила  $F = 0$  , т.е. убывает до нуля, то тогда и ускорение в конце движения тоже равно нулю:

$a(t_o) = a_o - \beta t_o = 0$  , и  $\beta = \frac{a_o}{t_o}$  .

В таком случае:

$S = \frac{a_o}{2} \cdot t_o^2 - \frac{a_o}{6t_o} \cdot t_o^3 = \frac{a_ot_o^2}{3} = \frac{100}{3}$  сек²  $\cdot a_o = 33.3$  сек²  $\cdot a_o$  ;

*** если же равномерность убывания силы относится не ко времени, а к координате, т.е. если сила убывает раномерно с координатой, и причём до нуля, то тогда это движение будет носить гармонический характер в течении четверть периода убывания ускорения от амплитудного до нуля, т.е. при изменении фазы на  $\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$  ;

отсюда легко найти циклическую частоту:  $\omega = \frac{\pi}{2} / t_o = \frac{\pi}{2t_o}$  .

для гармонического движения, верно, что ускорение софазно с координатой, т.е. на данном четверть периоде происходит и изменение координаты от амплитудного значения до нуля; стало быть, искомый путь будет равен амплитуде:  $S = x_{max} = a_o / \omega^2 = a_o \cdot ( \frac{2t_o}{\pi} )^2 = \frac{4}{\pi^2} \cdot t_o^2 a_o = \frac{400}{\pi^2}$  сек²  $\cdot a_o = 40.5$  сек²  $\cdot a_o$  .