Question

Вычислите двойной интеграл...

Answer 1

Уравнение окружности с центром в (0,0) и R=2 в полярной системе координат имеет вид  r=2.

$\iint \limits _{G}\, x\, dx\, dy=[x=rcos\phi\; ,\; y=rsinx\phi \; ,\; dx\, dy=r\, dr\, d\phi \; ]=\\\\=\int\limits_{-\pi}^{\pi /2}\, d\phi \int\limits^2_0\,r\, cos\phi \, dr=\int\limits^{\pi /2}_{-\pi }\, cos\phi \, d\phi \int\limits^2_0\, r\, dr=\int\limits^{\pi /2}_{-\pi }\, cos\phi\, d\phi \Big (\frac{r^2}{2}\, \Big |_0^2\Big )=\\\\=\int\limits^{\pi /2}_{-\pi }\, 2\cdot cos\phi \, d\phi =2\cdot sin\phi \Big |_{-\pi }^{\pi /2}=2\cdot \Big (sin\frac{\pi}{2}-sin(-\pi )\Big )=\\\\=2\cdot (1+0)=2$