Question

Разложить на множители x^8+x^4-2

Answer 1

Пусть у= х⁴, тогда у²+у-2=0 По теореме, обратной теореме Виета у₁=-2, у₂=1, т.е. x⁸+x⁴-2=(у+2)(у-1).

x⁸+x⁴-2=(х⁴+2)(х⁴-1)=(х⁴+2)(х²-1)(х²+1)=(х⁴+2)(х²+1)(х-1)(х+1)

Answer 2

$x^8+x^4-2=(x^4+2)(x^4-1)=\left(\left(x^2+\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}x^2\right)(x^2-1)(x^2+1)=$

$=\left((x^2+\sqrt{2})^2-(\sqrt[4]{8}x)^2\right)(x-1)(x+1)(x^2+1)=$

$=(x^2-\sqrt[4]{8}x+\sqrt{2})(x^2+\sqrt[4]{8}x+\sqrt{2})(x-1)(x+1)(x^2+1)$

Дальнейшее разложение над полем действительных чисел невозможно, так как полученные многочлены второй степени имеют отрицательные дискриминанты.