Question

К празднику было выпущено 10000 лотерейных билетов, среди которых 100 выигрышных . Фирма Салют купила 200 билетов для своих сотрудников.
а) Определите, какое распределение будет подходящей моделью в данном случае.
б) Какова вероятность того, что среди купленных фирмой билетов окажется не более четырех выигрышных?
в) Сколько билетов надо купить, чтобы среди них с вероятностью 90% оказался хотя бы один выигрышный?

Answer 1

а) данная модель распределена по биномиальному закону.Вероятность успеха в одном испытании равна p = 100/10000 = 0.01, тогда q = 1 - p = 1 - 0.01 = 0.99

б) Вероятность того, что среди купленных фирмой билетов окажется не более четырех выигрышных, равна$P\{X\leq 4\}=P\{X=0\}+P\{X=1\}+P\{X=2\}+P\{X=3\}+P\{X=4\}\\ \\ =q^{200}+C^1_{200}pq^{199}+C^2_{200}p^2q^{198}+C^3_{200}p^3q^{197}+C^4_{200}p^4q^{196}=\\ \\ \\ =q^{196}\left(q^4+200pq^3+\dfrac{200!}{198!2!}p^2q^2+\dfrac{200!}{3!197!}p^3q+\dfrac{200!}{4!196!}p^4\right)=\\ \\ \\ =q^{196}\cdot \Big(q^4+200pq^3+19900p^2q^2+1313400p^3q+64684950p^4\Big)\approx0.95$

в) Воспользуемся вероятностью противоположного события.

Подсчитаем сколько нужно взять билетов, чтобы среди них с вероятность 100% - 90% = 10% оказались все не выигрышные билеты.

$P=0.99^n~~~\Rightarrow~~~ 0.1=0.99^n\\ \\ \ln 0.1=n\ln 0.99\\ \\ n=\dfrac{\ln0.1}{\ln0.99}$

Откуда n = 230, так как вероятность того, что купленные билеты невыигрышные равна $0.99^{230}\approx0.1$ откуда вероятность того, что среди купленных билетов окажутся хотя бы один выигрышный билет равна $P=1-0.1=0.9$