Question

Помогите....!Алгебра 30 б!!!

1). Докажите методом математической индукции :

1/3 (1 +3/3 +5/3^2 +... +(2n − 1)/3^(n − 1)) =1 − (n +1)/ 3^n

Answer 1

1) Базис индукции: n = 1

$\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2\cdot1-1}{3^{0}}=1-\dfrac{1+1}{3^1}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

2) Предположим что и для n = k выполняется равенство

$\dfrac{1}{3}\bigg(1+\dfrac{3}{3}+\dfrac{5}{3^2}+...+\dfrac{2n-1}{3^{k-1}}\bigg)=1-\dfrac{k+1}{3^k}$

3) Индукционный переход: n = k + 1.

$\dfrac{1}{3}\bigg(1+\dfrac{3}{3}+\dfrac{5}{3^2}+...+\dfrac{2k-1}{3^{k-1}}+\dfrac{2(k+1)-1}{3^{k+1-1}}\bigg)=1-\dfrac{k+1+1}{3^{k+1}}\\ \\ \\ \dfrac{1}{3}\bigg(1+\dfrac{3}{3}+\dfrac{5}{3^2}+...+\dfrac{2k-1}{3^{k-1}}\bigg)+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2k+1}{3^k}=1-\dfrac{k+2}{3^{k+1}}\\ \\ \\ 1-\dfrac{k+1}{3^k}+\dfrac{2k+1}{3^{k+1}}=1-\dfrac{k+2}{3^{k+1}}\\ \\ \\ 1-\dfrac{3(k+1)-2k-1}{3^{k+1}}=1-\dfrac{k+2}{3^{k+1}}\\ \\ \\ 1-\dfrac{k+2}{3^{k+1}}=1-\dfrac{k+2}{3^{k+1}}$

Это равенство верно для натуральных n. Что и нужно было доказать