1)Основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямоугольника на его диагональ, делит ее в отношении 3:1. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны, если диагональ равна 8 см. (М. № 52)
2)Смежные углы между диагоналями прямоугольника соотносятся как 1:2. Найдите диагональ, если расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны прямоугольника равно 5 см.
СРОЧНО!!!!
ДАЮ 35 БАЛЛОВ
ПРОШУ ПОЛНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ С ЧЕРТЕЖОМ
ЗАРАНЕЕ СПАСИБО
ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС
Ответы
Объяснение:
1)Обозначим данный прямоугольник АВСD. Отрезок ВК⊥АС. АК:КС=3:1. О - точка пересечения диагоналей. (см. рисунок приложения),
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. . АС=ВD=8, ВО=ОС=АО=ОD=4.
Диагональ АС содержит 3+1=4 части, тогда СК=1 часть=8:4=2 см,⇒ КО=4-2=2 см. ВК - высота треугольника ВОС (перпендикулярна отрезку СО) и делит его пополам. Следовательно, является его медианой, поэтому ∆ ВСО равнобедренный. ВС=ВО. Но ВО=СО ⇒ ∆ СВО - правильный, В ∆ ВОМ угол ОВМ=∠СВМ-СВО=90°-60°=30° Катет ОМ противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы ВО. ⇒ ОМ=АЕ=2 см.
———————
2) Расстояние от точки до прямой равно длине проведенного к ней перпендикуляра. В прямоугольнике АВСD это отрезок ОМ.
Угол ВOD - развернутый и равен 180°. Сумма смежных углов ВОА и АОD равна 1+2=3 части. ⇒ угол ВОА=1 часть=180°:3=60°. По свойству диагоналей прямоугольника ВО=АО, поэтому углы при основании АВ равнобедренного ∆ ВОА равны (180°-60*):2=60°, из чего следует: в прямоугольном ∆ ВОМ угол ОВМ=угол АВМ-угол АВО=90°-60°=30°. Гипотенуза ВО в два раза больше катета, противолежащего углу 30° ⇒ ВО=10 см. ВО = половина диагонали. Диагональ ВD=2•10=20 см.
