Question

Доказать, что если А — диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, тоже диагональна

Answer 1

Пусть $A=diag(a_1, a_2...a_n),\: B=(b_{ij}),\: AB=BA=C=(c_{ij})$

Выразим $c_{ij}$ из произведения $AB$: $c_{ij}=(0\:...\:a_i\:...\:0)*\left[\begin{array}{ccc}b_{1j}\\...\\b_{nj}\end{array}\right] =a_ib_{ij}$

Аналогично с $BA$: $c_{ij}=(b_{i1}\:...\:b_{in})*\left[\begin{array}{ccc}0\\...\\a_j\\...\\0\end{array}\right] =a_jb_{ij}$

Тогда $a_ib_{ij}=a_jb_{ij}$. Т.к. $a_i\neq a_j, i\neq j$, то $b_{ij}=0, i\neq j$, т.е. все элементы, находящиеся не на диагонали, нулевые. А это и означает, что матрица $B$ диагональная.

Доказано.