Question

Найдите целое значение параметра a, при котором сумма квадратов корней уравнения
$x^{2} +x-2\alpha x+4+a^{2}$

принимает наименьшее значение.

Answer 1

$x^2+x-2ax+4+a^2=0\\ x^2-(2a-1)x+a^2+4=0$

По теореме Виета:

$x_1+x_2=2a-1\\ x_1x_2=a^2+4$

Сумма квадратов корней :

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2a-1)^2-2\cdot (a^2+4)=\\ \\ =4a^2-4a+4-2a^2-8=2a^2-4a-4$

Сумма квадратов принимает наименьшее значение, если $f(a)=2a^2-4a-4$ достигает наименьшего значения, а поскольку графиком функции является парабола, с ветвями направленными вверх, то вершина параболы достигает минимума.

$a=-\dfrac{-4}{2\cdot 2}=1$

Ответ: a = 1.