Question

$y'=y/(3x-y^2) ; y(0)=1$
найти частно решение

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение перепишем в следующем виде

$\dfrac{y^2-3x}{y^4}dy+\dfrac{1}{y^3}dx=0$

где $M(x,y)=\dfrac{1}{y^3},~~~ N(x;y)=\dfrac{y^2-3x}{y^4}$

Тогда $M'_y(x;y)=-\dfrac{3}{y^4}=N'(x;y)$, что собственно можем сделать вывод, что данное диф. уравнение является уравнением в полных дифференциалах

Если функция F(x;y) удовлетворяет $F'_x(x;y)=M(x;y)$ и $F'_y(x;y)=N(x;y)$, то $F(x;y)=C$ - решение дифференциального уравнения

Интегрируем по переменной х

$\displaystyle F(x;y)=\int M(x;y)dx=\int \dfrac{dx}{y^3}=\dfrac{x}{y^3}+C(y)$

далее продифференцируем по переменной у

$F'_y(x;y)=\Big(\dfrac{x}{y^3}+C(y)\Big)'=-\dfrac{3x}{y^4}+C'(y)=N(x;y)=\dfrac{y^2-3x}{y^4}\\ \\ \\ -\dfrac{3x}{y^4}+C'(y)=\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{3x}{y^4}\\ \\ C'(y)=\dfrac{1}{y^2}~~~~\Rightarrow~~~\displaystyle C(y)=\int \dfrac{dy}{y^2}=-\dfrac{1}{y}$

Откуда общий интеграл $\dfrac{x}{y^3}-\dfrac{1}{y}=C$

Найдем частный интеграл, подставляя начальные условия

$\dfrac{0}{1^3}-\dfrac{1}{1}=C~~~\Rightarrow~~~ C=-1$

Частный интеграл: $\dfrac{x}{y^3}-\dfrac{1}{y}=-1$