Question

Решите Иррациональное неравенство с одз

Answer 1

$\sqrt{x^2+4x}<2-x$

одз:

$\left \{ {{x^2+4x\geq 0} \atop {2-x\geq 0}} \right. \\1)\ x^2+4x\geq 0\\x(x+4)\geq 0\\x_1=0;\ x_2=-4$

 +         -          +

-----[-4]-----[0]------->x

$x\in (-\infty;-4]\cup [0;+\infty)$

$2)\ 2-x \geq 0\\x \leq 2\\x\in (-\infty;2]$

$\left \{ {{x\in (-\infty;-4]\cup [0;+\infty)} \atop {x\in (-\infty;2]}} \right. \Rightarrow x \in (-\infty;-4]\cup [0;2]$

Решаем неравенство:

Возводим в квадрат обе части:

$x^2+4x<(2-x)^2\\x^2+4x<x^2-4x+4\\4x<-4x+4\\8x<4\\x<\frac{1}{2}\\x\in (-\infty;0,5)$

пересекаем множество решений неравенства с одз:

$\left \{ {{x \in (-\infty;-4]\cup [0;2]} \atop {x\in (-\infty;0,5)}} \right. \Rightarrow x \in (-\infty;-4]\cup [0;0,5)$

Ответ: $x \in (-\infty;-4]\cup [0;0,5)$