Question

$(2+\frac{x^{2} }{x+2} )(\frac{1}{x-2} -\frac{12}{x^{3}-8 } -\frac{2}{x^{2}+2x+4 })$докажите что при любых допустимых значениях переменной x значение выражения не зависит от x

Answer 1

$(2+\frac{x^{2} }{x+2} )(\frac{1}{x-2} -\frac{12}{x^{3}-8 } -\frac{2}{x^{2}+2x+4 })$

Приводим выражения в первой и второй скобках к общему знаменателю:

$1)\ 2+\frac{x^{2} }{x+2}=\frac{2x+4+x^2}{x+2}=\frac{x^2+2x+4}{x+2}\\2)\ \frac{1}{x-2} -\frac{12}{x^{3}-8 } -\frac{2}{x^{2}+2x+4 }=\frac{1}{x-2} -\frac{12}{(x-2)(x^2+2x+4) } -\frac{2}{x^{2}+2x+4 }=\\=\frac{x^2+2x+4-12-2(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} =\frac{x^2-4}{(x-2)(x^2+2x+4)} =\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{x+2}{x^2+2x+4}$

Находим произведение:

$\frac{x^2+2x+4}{x+2}*\frac{x+2}{x^2+2x+4}=1$

Данное выражение при любых допустимых значениях переменной x не зависит от x и всегда будет равно единице.