Question

Дано: DQ=DP, доказать, что QA=2PS​

Answer 1

треугольники DQC и SCP-подобны по 2 углам

оба они прямоугольные и <DQP=<DPQ=<CPS

если сторону квадрата обозначить за а, то из этих треугольников

k=DC/CS=a/(a/√2)=√2=DQ/PS

DS=a/√2=DP+PS

пусть DQ=DP=x

PS=DQ/k=x/√2

DS=a/√2=x+x/√2=(x√2+x)/√2;  тогда a=x√2+x

AQ=DA-DQ=a-x=x√2+x-x=x√2

Подставлю все

AQ/PS=x√2/(x/√2)=2

Answer 2

Объяснение:

если вычислить углы

угол QDP=45°,

угол DQC=DPQ=135/2=67.5°,

угол DCQ=90-67.5=22.5°,

т.е. CQ это биссектриса угла DCA.

Теорема: биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

в треугольнике DCA:

x : CD = QA : AC

для квадрата известно АС=CD*√2

x = QA*CD:(CD√2) = QA:√2

в треугольнике DCS:

x : CD = PS : SC... SC=AC/2=CD/√2

x = CD*PS:(CD/√2)

x = PS*√2

отсюда

QA:√2 = PS*√2

QA = PS*√2*√2

QA = 2PS