Question

Дано : DQ=DP, доказать QA=2PS​

Answer 1

Достроим QC и AB до пересечения в точке Е. Треугольник DQP равнобедренный, т.е. ∠DQP = ∠DPQ = (180° - 45°)/2 = 67.5°.

∠DQP = ∠EQA как вертикальные

∠QEA = 90° - ∠EQA = 90° - 67.5° = 22.5°

∠EAC = 90° + 45° = 135°, тогда ∠ECA = 180° - 135° - 22.5° = 22.5°

Следовательно, ∠CEA = ∠ECA  ⇒  ΔAEC - равнобедренный, AE = AC. Треугольники EQA и CSP подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что

$\dfrac{AE}{CS}=\dfrac{QA}{PS}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{AC}{0.5AC}=\dfrac{QA}{PS}~~~\Rightarrow~~~\boxed{QA=2PS}$

Доказано