Question

Вычислите интеграл :


$\frac{5}{4} \\ \int \frac{ \sqrt{x + 1} }{ \sqrt{ {x}^{2} + 1 } } dx \\ \frac{10}{9}$
​

Answer 1

Стандартными способами решить интеграл никак, но графически можно найти площадь фигуры, ограниченными линиями x = 5/4 и x = 10/9. Из школьного курса мы делали полное исследование функции. Не составит труда Вам это вспомнить и построить график.

Найдем точки пересечения графика функции $y=\sqrt{\dfrac{x+1}{x^2+1}}$ с прямыми x = 5/4 и x = 10/9

$y(5/4)=\sqrt{\dfrac{5/4+1}{25/16+1}}=\dfrac{6}{\sqrt{41}}\\ \\ \\ y(10/9)=\sqrt{\dfrac{10/9+1}{100/81+1}}=\dfrac{3}{181}\sqrt{3439}$

Вот и на рисунку есть примерный график. Похож на прямоугольную трапецию и не трудно найти ее площадь. Высота трапеции: $h=\dfrac{5}{4}-\dfrac{10}{9}=\dfrac{5}{36}\dfrac{}{}$

$\displaystyle \int\limits^\big{\frac{5}{4}}_\big{\frac{10}{9}} {\sqrt{\dfrac{x+1}{x^2+1}}} \, dx =\dfrac{AB+CD}{2}\cdot h=\dfrac{\dfrac{6}{\sqrt{41}}+\dfrac{3}{181}\sqrt{3439}}{2}\cdot \dfrac{5}{36}=\\ \\ \\ =\dfrac{5}{492}\sqrt{41}+\dfrac{5}{4344}\sqrt{3439}\approx0.1326$