Question

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника АВС взяты точки Е и F такие, что АЕ=АС,BF=BC. Докажите, что ЕF2(квадрат)= 2•AF•ВЕ

Answer 1

По теореме Пифагора

$AB^2=AC^2+BC^2\\ \\ (AF+FB)^2=AE^2+BF^2\\ \\ (AF+FB)^2=(FE+AF)^2+(BE+EF)^2\\ \\ (AF+FE+BE)^2-(FE+AF)^2=(BE+EF)^2\\ \\ (AF+FE+BE-FE-AF)(AF+FE+BE+FE+AF)=(BE+EF)^2\\ \\ BE(2AF+2FE+BE)=BE^2+2BE\cdot EF+EF^2\\ \\ 2AF\cdot BE+2BE\cdot FE+BE^2=BE^2+2BE\cdot EF+EF^2\\ \\ EF^2=2AF\cdot BE$

Доказано.