Question

Докажите, что выражение 1009!×1010!×2019!×2020! не является квадратом натурального числа (n!= 1×2×3×...×n)​

Answer 1

$1009!\cdot 1010!\cdot 2019!\cdot 2020!=1010\cdot (1009!)^2\cdot 2020\cdot (2019!)^2=\\ \\ \\ =1010\cdot 2\cdot 1010\cdot (1009!)^2\cdot (2019!)^2=2\cdot (1009!\cdot 2019!\cdot 1010)^2$

Из двойки извлечь полный квадрат никак, т.е. выражение не является квадратом.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

1009! × 1010! × 2019! × 2020! = 1009! × 1009! × 1010 × 2019! ×2019! × 2020 =  (1009! × 1019!)² × 1010 × 2020 = (1009!× 2019! × 10)²  × 101 × 202 = (1009!× 2019! × 10)²  × 101 ² × 2 = (1009!× 2019! × 10 × 101)²  × 2.

Так как число 2 не может быть квадратом натурального числа, то и всё произведение не может быть квадратом натурального числа.