Question

Уравнение окружности. Решите 31 номер пожалуйста

Answer 1

Прежде чем решать, выложу рисунок, тогда рассуждения будут более понятными.
Сначала вспомни уравнение окружности хотя бы в общем виде, чтобы нам было понятно, от чего начать двигаться.
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2
Здесь x0,y0 - координаты центра нашей окружности, R - радиус описанной около треугольника окружности. Мы не знаем ни того, ни другого. Будем рассуждать.
Любую из этих величин мы сможем найти, если будем знать хотя бы стороны треугольника. Их мы тоже не знаем, но зато нам известно, что стороны лежат на неких прямых. По рисунку становится понятно, что мы можем найти координаты всех вершин треугольника, это всего лишь точки пересечения соответствующих прямых друг с другом. Давайте сразу найдём их, но перед этим во всех уравнениях прямых выразим y через x:
y = 16 - 3x
y = x + 4
y = 1/2 * (2-x)
Теперь давайте найдём координаты точки A - точки пересечения прямых y = x+4 и y = 1/2 * (2-x). Приравняем оба уравнения:
x + 4 = 1/2(2-x)
2x + 8 = 2 - x
3x = -6
x = -2
Ордината точки, подставив полученный x в любое из этих двух уравнений:
y = -2 + 4 = 2
A(-2;2)
Аналогично находим координаты точки B:
x + 4 = 16 - 3x
4x = 12
x = 3
y = 3 + 4 = 7
B(3;7)
Находим координаты точки C:
1/2(2 - x) = 16 - 3x
2 - x = 32 - 6x
5x = 30
x = 6
y = 16 - 3 * 6 = 16 - 18 = -2
C(6;-2)

Следующим этапом будем нахождение длин сторон треугольник по координатам его вершин, кои мы уже нашли. Находим длины сторон по формуле нахождения длины отрезка, если известны координаты его концов(наш случай). Эту формулу вы можете найти в любом учебнике по геометрии.
AB = корень из ((3+2)^2 + (7-2)^2) = корень из (25 + 25) = корень из 50
BC = корень из ((6-3)^2 + (-2-7)^2) = корень из (9 + 81) = корень из 90
AC = корень из (6+2)^2 + (-2-2)^2) = корень из (64 + 16) = корень из 80
Надеюсь, я везде правильно всё считал, но алгоритм решения неизменен. Стороны мы нашли.
Радиус описанной окружности найдём по теореме синусов:
AB/sin <C = 2R. R нам и надо найти. Сначала надо найти сам угол C, найти его синус и радиус найден. Мы знаем все три стороны, угол можем найти по теореме косинусов.
AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2*BC*AC * cos <C
cos <C = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / 2*BC*AC
Теперь посчитаем, подставив длины сторон сюда. Скажу ответ.
cos <C = 60 / корень из 7200
Отсюда найдём синус угла по основному тригонометрическому тождеству:
sin^ <C  +  cos^ <C = 1
sin^2<C = 1 - cos^2<C = 1 - 3600/7200 = 1 - 1/2 = 1/2
sin <C = корень из 2 / 2(ну и можно сказать, что <C = 45 градусам).
Синус нашли, теперь выразим радиус описанной около треугольника окружности(наконец-то:)
2R = корень из 50 : корень из 2/2 = 10
R = 5
Мы справились с такой сложной задачей, как нахождение радиуса!
Осталось лишь найти координаты центра окружности - задача не такая и сложная. Предлагаю закончить самостоятельно. Подскажу просто план действий. Здесь работает та же формула длины отрезка(найди её в учебнике). Длину радиуса мы теперь знаем. Дерзай!(Указание: составь систему уравнений с двумя неизвестными). Самую сложную задачу мы сделали - нашли радиус.