Question

Корни х1 и х2 квадратного уравнения х^2-рх+2р=0 таковы, что х1^2+х2^2=5 найти коэффициент р

Answer 1

По теореме Виета

$x_1+x_2=p\\ x_1x_2=2p$

Тогда рассмотрим сумму квадратов корней

$x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

По условию сумма квадратов корней равна 5 и подставим все данные из того что нашли по т. Виета

$p^2-2\cdot 2p=5\\ \\ p^2-4p-5=0$

Отсюда $p_1=-1;~~ p_2=5$

Определим при каких значениях р квадратное уравнение имеет корни

$D=p^2-4\cdot 2p=p^2-8p>0$

Если подставить p = 5 в неравенство p² - 8p > 0 , то неравенство неверно. При р = -1 неравенство выполняется.

Ответ: p = -1.