Question

Доведіть тотожність
$\sin\alpha + \sin3 \alpha + \sin5 \alpha + \sin7 \alpha = 4 \cos \alpha \times \cos2 \alpha \times \sin4 \alpha$
​

Answer 1

$\sin\alpha +\sin3\alpha+\sin5\alpha+\sin7\alpha=\Big(\sin 7\alpha +\sin \alpha\Big)+\Big(\sin 5\alpha+\sin3\alpha\Big)=\\ \\ =2\sin\dfrac{7\alpha+\alpha}{2}\cos\dfrac{7\alpha-\alpha}{2}+2\sin\dfrac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\dfrac{5\alpha-3\alpha}{2}=\\ \\ =2\sin4\alpha\cos3\alpha+2\sin4\alpha\cos\alpha=2\sin4\alpha\cdot \Big(\cos 3\alpha+\cos\alpha\Big)=\\ \\ =2\sin4\alpha\cdot 2\cos\dfrac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\dfrac{3\alpha-\alpha}{2}=4\sin4\alpha\cos2\alpha\cos\alpha$

Тождество доказано.

Воспользовались формулами :

$\sin \alpha +\sin \beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\\ \\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$