Question

15 БАЛЛОВ! Два действительных числа случайным образом выбираются из отрезка [0,6]. Какова вероятность того, что сумма двух чисел меньше 5, а их произведение меньше 6?​ решать с помощью геометрического определения вероятности

Answer 1

Пусть х - первое число, у - второе число. По условию, $x+y<5$ откуда $y<5-x$ и $xy<6$ откуда $y<\dfrac{6}{x}$

Найдем точки пересечения графиков функций $y=5-x$ и $y=\dfrac{6}{x}$. Для этого приравниваем функции

$5-x=\dfrac{6}{x}~~~\bigg|\cdot x\\ \\ x^2-5x+6=0$

По теореме Виета

$x_1=2\\ x_2=3$

Смотрим рисунок. Разобьем заштрихованную фигуру прямыми x = 2 и x = 3 и найдем площади $S_{QRBC}=S_1,~ S_{BADC}=S_2,~ S_{ADS}=S_3$

$S_1=\dfrac{QR+BC}{2}\cdot CQ=\dfrac{5+3}{2}\cdot 2=8$ кв. ед.

$\displaystyle S_2=\int\limits^3_2 \dfrac{6}{x}dx=6\ln|x|~\bigg|^3_2=6\Big(\ln 3-\ln 2\Big)=6\ln\dfrac{3}{2}$ кв. ед.

$S_3=\dfrac{AD\cdot DS}{2}=\dfrac{2\cdot 2}{2}=2$ кв. ед.

Площадь заштрихованной фигуры: $S=S_1+S_2+S_3=10+6\ln\dfrac{3}{2}$

Искомая вероятность:  $P=\dfrac{S}{S_{QNOP}}=\dfrac{10+6\ln\dfrac{3}{2}}{6\cdot6}=\dfrac{5+3\ln\dfrac{3}{2}}{18}\approx0.345$