Question

Найти область сходимости степенного ряда

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} |\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|= \lim_{n \to \infty} |\dfrac{(\dfrac{n+2}{n+1})^{n+1}x^{n+1}}{(\dfrac{n+1}{n})^{n}x^n}|= |x| \lim_{n \to \infty} |\dfrac{(1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\dfrac{1}{n})^{n}}|=|x| \dfrac{e}{e}=|x|$

А значит при $|x|<1$ ряд сходится.

Проверим теперь концы интервала:

$x=1 => \sum^{\infty} _{n=1} (\dfrac{n+1}{n})^{n}\\ a_n=(\dfrac{n+1}{n})^{n}=(1+\dfrac{1}{n})^{n} \:\:\overline{_{n->\infty}}^{\to}e\neq 0$ - необходимое условие сходимости не выполнено. Ряд расходится.

$x=-1=>\sum^{\infty} _{n=1} (\dfrac{n+1}{n})^{n}(-1)^n\\ |a_n|=(\dfrac{n+1}{n})^{n}*1=(1+\dfrac{1}{n})^{n} \:\:\overline{_{n->\infty}}^{\to}e\neq 0$ Ряд расходится

Ответ: $x\in(-1;1)$