Question

Найдите функцию у = g(x), обратную к данной функции y = f(x)

Answer 1

$1)\; \; f(x)=(x-1)^2+2\; \; ,\; \; \; x\in [\, 1,+\infty )\; \; \Rightarrow \; \; f(x)\; -\; monotonna\\\\y=(x-1)^2+2\; \; \to \; \; (x-1)^2=y-2\\\\x-1=\pm \sqrt{y-2}\\\\pri\; \; x\in [\, 1,+\infty )\; :\; \; x\geq 1\; \; \to \; \; (x-1)\geq 0\; \; \to \; \; x-1=+\sqrt{y-2}\\\\x=1+\sqrt{y-2}\\\\\underline {\; y=1+\sqrt{x-2}\; }\; \; -\; \; obratnaya\; fynkciya\\\\x\geq 2\; ,\; y\in [\, 1;+\infty )$

$2)\; \; f(x)=2+\sqrt{x+1}\; \; ,\; \; x\in [-1,+\infty )\; \; \to \; \; f(x)\; -\; monotonna\\\\y=2+\sqrt{x+1}\; \; \; \to \; \; \; \sqrt{x+1}=y-2\\\\x+1=(y-2)^2\\\\x=-1+(y-2)^2\\\\\underline {\; y=-1+(x-2)^2\; }\; \; -\; \; obratnaya\; fynkciya\\\\x\geq 2\; ,\; \; y\in [-1;+\infty )$

$3)\; \; f(x)=2^{x-2}\; \; ,\; \; f(x)>0\; \; , f(x)\; -\; monotonna\\\\y=2^{x-2}\; \; \to \; \; x-2=log_2y\; ,\; \; (y>0)\\\\x=2+log_2y\\\\\underline {\; y=2+log_2x\; ,\; \; x>0}\; \; -\; \; obratnaya\; fynkciya$

$4)\; \; f(x)=log_3(x+2)\; \; ,\; \; x+2>0\; ,\; x>-2\; ;\; \; f(x)\; -\; monotonna\\\\y=log_3(x+2)\; \; \Rightarrow \; \; \; x+2=3^{y}\\\\x=-2+3^{y}\\\\\underline {\; y=-2+3^{x}\; \; ,\; \; y>-2\; }\; -\; \; obratnaya\; fynkciya$