Question

Исследовать сходимость ряда

$\frac{1!}{1} +\frac{2!}{2^2} +...+\frac{n!}{n^n}$+...[tex][/tex]

Answer 1

$\displaystyle \dfrac{1!}{1^1}+\dfrac{2!}{2^2}+...+\dfrac{n!}{n^n}=\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{n!}{n^n}$

Здесь общий член ряда $a_n=\dfrac{n!}{n^n}$. Тогда по признаку Коши

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}= \lim_{n \to \infty}\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}~~ =\boxed{=}$

По формуле Стирлинга $n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$, мы получим

$\boxed{=}~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(2\pi n)^{1/2n}\cdot\frac{n}{e}}{n}=\dfrac{1}{e}<1$

Данный ряд сходится.