Question

Допоможіть, будь ласка.
Треба Розв'язати диференціальне рівняння:
3ех(степень)tgycos²ydx-(1+ех(степень))dy=0
y=π/4
при Х=0

Answer 1

$3e^x{\rm tg}\, y\cos^2 ydx-(1+e^x)dy=0\\ \\ 3e^x\cdot \dfrac{\sin y}{\cos y}\cdot \cos^2ydx=(1+e^x)dy\\ \\ 3e^x\sin y\cos ydx=(1+e^x)dy\\ \\ \dfrac{3}{2}e^x\sin2ydx=(1+e^x)dy$

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными

$\displaystyle \int \dfrac{e^x}{1+e^x}dx=\dfrac{2}{3}\int\dfrac{dy}{\sin 2y}~~~\Rightarrow~~~ \int \dfrac{d(e^x+1)}{e^x+1}=-\dfrac{1}{3}\int d(\ln|{\rm ctg}\, y|)\\ \\ \\ \ln|e^x+1|=-\dfrac{1}{3}\ln|{\rm ctg}\, y|+\ln C\\ \\ \boxed{e^x+1=\dfrac{C}{\sqrt[3]{{\rm ctg}\, y}}}$

Получили общий интеграл

Найдем частный интеграл, подставляя начальные условия

$e^0+1=\dfrac{C}{\sqrt[3]{1}}~~~\Rightarrow~~~ C=2$

Частный интеграл: $e^x+1=\dfrac{2}{\sqrt[3]{{\rm ctg}\, y}}$