Question

4^x^2+2(a+1)×2^x^2+4×a^2-3>0 знайти всі значення а, при яких нерівність виконується для будь-яких x

Answer 1

$4^{x^2}+2(a+1)\cdot 2^{x^2}+4a^2-3>0\\ \\ \left(2^{x^2}\right)^2+2(a+1)\cdot 2^{x^2}+(a+1)^2+4a^2-3-(a+1)^2>0\\ \\ \left(2^{x^2}+a+1\right)^2+4a^2-3-a^2-2a-1>0\\ \\ \left(2^{x^2}+a+1\right)^2+3a^2-2a-4>0$

Это неравенство верно для всех х, когда $3a^2-2a-4\geq0$

Решим уравнение $3a^2-2a-4=0$

$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-4)=52;~~~\sqrt{D}=2\sqrt{13}\\ \\ a_{1,2}=\dfrac{2\pm2\sqrt{13}}{2\cdot 3}=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{3}$

При $a \in \left(-\infty;\dfrac{1-\sqrt{13}}{3}\right]\cup\left[\dfrac{1+\sqrt{13}}{3};+\infty\right)$ неравенство верно для всех х.