Question

Про приведённый квадратный трёхчлен P(x)=x2+ax+b известно, что при некотором натуральном n выполнено P(n)=19 и P(n+1)=24. Кроме того, P(1)=16. Чему может быть равно b?

Перечислите все возможные ответы. Если чисел несколько, введите их все — каждое число в отдельное поле ввода. Добавить поля ввода можно, нажав на плюсик рядом с уже введённым числом.

Answer 1

$P(n)=n^2+an+b=19\\ P(n+1)=(n+1)^2+a(n+1)+b=24\\ P(1)=1+a+b=16$

Решим систему трех уравнений

$\begin{cases}&\text{}n^2+an+b=19\\&\text{}(n+1)^2+a(n+1)+b=24\\&\text{}1+a+b=16\end{cases}~~~\Rightarrow~~\begin{cases}&\text{}n^2+an+b=19\\&\text{}n^2+an+b+2n+1+a=24\\&\text{}a+b=15\end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}&\text{}n^2+an+b=19\\&\text{}19+2n+1+a=24\\&\text{}a+b=15\end{cases}~~~\Rightarrow~~~\begin{cases}&\text{}n^2+an+b=19\\&\text{}2n+a=4\\&\text{}a+b=15\end{cases}$

$\begin{cases}&\text{}\left(\dfrac{b-11}{2}\right)^2+(15-b)\cdot \dfrac{b-11}{2}+b=19\\&\text{}n=\dfrac{b-11}{2}\\&\text{}a=15-b\end{cases}\\ \\ \\ \dfrac{b^2-22b+121}{4}+\dfrac{15b-165-b^2+11b}{2}+b=19~~~~\bigg|\cdot 4\\\\ b^2-22b+121-2b^2+52b-330+4b=76\\ \\ b^2-34b+285=0$

По теореме Виета

$b_1=15$

$b_2=19$

Если b = 15, то a = 0 и n = 2 - натуральное.

Если b = 19, то a = -4 и n = 4 - натуральное.

Ответ: b = 15 и b = 19