Question

Необходимо решить иррациональное уравнение двойной заменой

Answer 1

Пусть $\sqrt[4]{x-\frac{3}{2}}=a~~~\Rightarrow~~~ x-\frac{3}{2}=a^4~~~~~~~(*)$

          $\sqrt[4]{10-x}=b~~~\Rightarrow~~~ 10-x=b^4~~~~~~~~~~~~~(**)$

Тогда получаем что $a+b=2$. Далее сложим равенства (*) и (**)

$10-\frac{3}{2}=a^4+b^4$

По сути нужно решить систему уравнений

$\displaystyle \left \{ {{a^4+b^4=10-\frac{3}{2}} \atop {a+b=2}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=\frac{17}{2}} \atop {a+b=2}} \right. \\ \\ \\\left \{ {{((a+b)^2-2ab)^2-2a^2b^2=\frac{17}{2}} \atop {a+b=2}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{(4-2ab)^2-2a^2b^2=\frac{17}{2}} \atop {a+b=2}} \right. \\ \\ 16-16ab+4a^2b^2-2a^2b^2=\frac{17}{2}\\ \\ 2a^2b^2-16ab+16=\frac{17}{2}~~\bigg|\cdot 2\\ \\ 4a^2b^2-32ab+32=17\\ \\ 4\cdot (ab)^2-32\cdot ab+15=0$

Решаем как квадратное уравнение относительно ab

$D=(-32)^2-4\cdot 4\cdot 15=1024-240=784;~~~\sqrt{D}=28\\ \\ ab=\dfrac{32+28}{2\cdot 4}=7.5\\ \\ ab=\dfrac{32-28}{2\cdot 4}=0.5$

Решим две системы

1) $\displaystyle \left \{ {{a+b=2} \atop {ab=7.5}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{a=2-b} \atop {(2-b)b=7.5}} \right.$

$b^2-2b+7.5=0\\ D=4-4\cdot 7.5=4-30=-26$

Это квадратное уравнение решений не имеет, поскольку его дискриминант отрицательный

$2\displaystyle )~\left \{ {{a+b=2} \atop {ab=0.5}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{a=2-b} \atop {(2-b)b=0.5}} \right.\\ \\ b^2-2b+0.5=0\\ \\ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 0.5=2\\ \\ b_{1,2}=\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{2}$

$a=2-\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2\mp\sqrt{2}}{2}$

Далее нужно сделать обратную замену

$\sqrt[4]{10-x}=\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{2}\\ \\ 10-x=\left(\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{2}\right)^4\\ \\ 10-x=\dfrac{17\pm12\sqrt{2}}{4}\\ \\ x=10-\dfrac{17\pm12\sqrt{2}}{4}=\dfrac{23\mp12\sqrt{2}}{4}$

Для справки скажу что оба корни являются решениями. Проверку можете сами сделать. ОДЗ: $\dfrac{3}{2}\leq x\leq 10$

Ответ: $\dfrac{23\pm12\sqrt{2}}{4}$