Question

100 балов — доказать делимость на 101.
Ответ нужно обосновать. ​

Answer 1

$\displaystyle 2019^{2018}-1=(1919+100)^{2018}-1$

Дальше раскладываем по биному Ньютона:

$(1919+100)^{2018}-1=C_{2018}^0\cdot1919^{2018}\cdot100^0 \;+ \;C_{2018}^1\cdot1919^{2017}\cdot100^1\;+...\\\\...\;+C^ {2017}_{2018}\cdot1919^1\cdot 100^{2017}\;+\;C_{2018}^{2018}\cdot1919^0\cdot100^{2018}-1$

Видно, что все слагаемые, кроме двух последних, делятся на 1919, и, как следствие, на 101. Если $\displaystyle C_n^n\cdot1919^0\cdot100^n\;+\;1=100^n\;+\;1$ делится на 101, то задача будет решена.

Опять воспользуемся биномом Ньютона:

$\displaystyle 100^{2018}\;-\;1=(101-1)^{2018} -1=C_{2018}^0\cdot101^{2018}\cdot1^0\;-\;...\;+\;C^{2018} _{2018}\cdot101^0\cdot1^{2018}\;-\;1$

Итак, только два последних числа могут не делиться на 101, но:

$\displaystyle C^{2018} _{2018}\cdot101^0\cdot1^{2018}-1=1^{2018}-1=1-1=0$

Ноль нацело делится на 101.

⇒  $\displaystyle 2019^{2018}-1$ тоже делится 101, что и требовалось доказать.