Question

Решите в целых числах ур-ние:
xy=2011(x+y)

Answer 1

$xy=2011x+2011y\\xy-2011y=2011x\\y(x-2011)=2011x$

При x = 2011 получаем, что 0 = 2011², что неверно, поэтому можем поделить на x-2011.

$y=\dfrac{2011x}{x-2011}=\dfrac{2011x-2011^2+2011^2}{x-2011}=\dfrac{2011(x-2011)+2011^2}{x-2011}=2011+\\+\dfrac{2011^2}{x-2011}$

Так как y — число целое, то 2011² должно делиться на x-2011. 2011 — простое число, поэтому 2011² делится на ±1, ±2011, ±2011².

1. $x-2011=1\Rightarrow x=2012, y=2011+2011^2=2011\cdot 2012=4046132$

2. $x-2011=-1\Rightarrow x=2010, y=2011-2011^2=-2011\cdot 2010=-4042110$

3. $x-2011=2011\Rightarrow x=4022, y=2011+2011=4022$

4. $x-2011=-2011\Rightarrow x=0, y=2011-2011=0$

5. $x-2011=2011^2\Rightarrow x=2011^2+2011=2011\cdot 2012=4046132\\y=2011+1=2012$

6. $x-2011=-2011^2\Rightarrow x=2011-2011^2=-2011\cdot 2010=-4042110\\y=2011-1=2010$

Ответ: (2012; 4046132), (4046132; 2012), (2010; -4042110), (-4042110; 2010), (0; 0), (4022; 4022)