Question

Решите систему уравнений
2x^2+xy-3y^2=0
x^2-y^2+xy=4​

Answer 1

Делим первое уравнение системы на x^2≠0:

$2+\frac{y}{x} -3(\frac{y}{x})^2=0$

делаем замену:

$\frac{y}{x} =a$

получим:

$2+a-3a^2=0\\3a^2-a-2=0\\D=1+24=25=5^2\\a_1=\frac{1+5}{6}=1\\a_2=\frac{1-5}{6}=-\frac{2}{3}$

обратная замена:

$1)\ \frac{y}{x}=1\\y=x\\2)\ \frac{y}{x}=-\frac{2}{3}\\3y=-2x\\y=-\frac{2}{3} x$

Составляем две системы:

$1)\left \{ {{y=x} \atop {x^2-y^2+xy=4​}} \right. \\x^2-x^2+x^2=4\\x^2=4\\x_1=2\\x_2=-2\\y_1=2\\y_2=-2\\2)\left \{ {{y=-\frac{2}{3} x} \atop {x^2-y^2+xy=4}} \right. \\x^2-\frac{4}{9}x^2 -\frac{2}{3} x^2=4\\9x^2-4x^2-6x^2=36\\-x^2=36\\x^2=-36\\x\in \varnothing$

Ответ: (2;2), (-2;-2)