Question

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1) lncosx
2) ctgx×ln(x^2+x)
3) 5lnx×ctgx

Заранее благодарю)

Answer 1

$1)~ (\ln \cos x)'=\dfrac{1}{\cos x}\cdot (\cos x)'=-\dfrac{\sin x}{\cos x}=-{\rm tg}\, x$

$2)~\big({\rm ctg}\, x\ln(x^2+x)\big)'=({\rm ctg}\, x)'\cdot \ln(x^2+x)+{\rm ctg}\, x\cdot \big(\ln(x^2+x)\big)'=\\ \\ =-\dfrac{1}{\sin^2x}\cdot \ln(x^2+x)+{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{x^2+x}\cdot (x^2+x)'=\\ \\ =-\dfrac{\ln(x^2+x)}{\sin^2x}+\dfrac{(2x+1){\rm ctg}\, x}{x^2+x}$

$3)~ \big(5\ln x\cdot {\rm ctg}\, x\big)'=5(\ln x)'\cdot {\rm ctg}\, x+5\ln x\cdot ({\rm ctg}\, x)'=\\ \\ =\dfrac{5}{x}\cdot {\rm ctg}\, x+5\ln x\cdot \left(-\dfrac{1}{\sin^2x}\right)=\dfrac{5{\rm ctg}\, x}{x}-\dfrac{5\ln x}{\sin^2x}$

Answer 2

$1)\; \; y=ln(cosx)\; \; ,\; \; \;( lnu)'=\frac{1}{u}\cdot u'\; ,\; \; u=cosx\\\\y'=\frac{1}{cosx}\cdot (-sinx)=-tgx\\\\\\2)\; \; y=ctgx\cdot ln(x^2+x)\; \; ,\; \; \; (uv)'=u'v+uv'\\\\y'=-\frac{1}{sin^2x}\cdot ln(x^2+x)+ctgx\cdot \frac{1}{x^2+x}\cdot (2x+1)\\\\\\3)\; \; y=5\, lnx\cdot ctgx\; \; \; ,\; \;  (uv)'=u'v+uv'\\\\y'=\frac{5}{x}\cdot ctgx+5\, lnx\cdot \frac{-1}{sin^2x}=\frac{5\, ctgx}{x}-\frac{5\, lnx}{sin^2x}$