Question

3. Мощность на резисторе. При замыкании ключа К в схеме, приведенной на рисунке,
мощность, выделяющаяся на резисторе Ri, увеличивается в 2 раза. Чему равно отно-
шение Ro/Ra? Батарейку считать идеальной.

Answer 1

Ответ:

R₂/R₁=√2.

Объяснение:

Запишем для мощности P, Вт на сопротивлении R₁ до замыкания ключа:

P=I²*R₁; I=U/R₁₂;

P=R₁*(U/R₁₂)², где

R₁₂ - эквивалентное сопротивление цепи,  Ом до замыкания ключа:

для мощности P', Вт на сопротивлении R₁ после замыкания ключа:

P'=R₁*(U/R₁₂₂)², где

R₁₂₂ - эквивалентное сопротивление цепи,  Ом после замыкания ключа:

По условию:

P'/P=2;

P'/P=R₁*(U/R₁₂₂)²/R₁*(U/R₁₂)²=R²₁₂/R²₁₂₂;=2;

R₁₂/R₁₂₂=√2.

Вычислим эквивалентные сопротивления до и после замыкания ключа:

R₁₂=R₁+R₂;

R₁₂₂=R₁+R₂*R₂/(R₂+R₂)=R₁+R₂/2.

Подставим и решаем:

(R₁+R₂)/(R₁+R₂/2)=√2;

R₁+R₂=√2(R₁+R₂/2);

R₁+R₂=√2R₁+√2R₂/2;

R₁+R₂-√2R₁-√2R₂/2=0;

Разделим все на R₁:

R₁/R₁+R₂/R₁-√2R₁/R₁-√2R₂/(2R₁)=0;

1+R₂/R₁-√2-√2R₂/(2R₁)=0;

R₂/R₁(1-√2/2)+1-√2=0;

немного алгебры:

R₂/R₁=(√2-1)/(1-√2/2)=2(√2-1)/(2-√2)=2(√2-1)/(√2(√2-1))=

=2/√2=2√2/2=√2

R₂/R₁=√2.

Проверим. Пусть R₁=1 Ом или относительных единиц, тогда R₂=√2;

R₁₂=1+√2;

R₁₂₂=1+√2/2;

R²₁₂/R²₁₂₂=(1+√2)²/(1+√2/2)²=(1+2√2+2)/(1+√2+1/2)=(3+2√2)/(3/2+√2)=2*(3+2√2)/(3+2√2)=2