Question

((sin2x)/y + x)dx + (y - (sinx)^2/(y^2))dy =0

помогите решить уравнения в полных дифференциалах

Answer 1

$\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)dx+\left(y-\dfrac{\sin^2x}{y^2}\right)dy=0\\ \\ \underbrace{\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)}_{M(x,y)}dx+\underbrace{\left(y-\dfrac{1-\cos 2x}{2y^2}\right)}_{N(x;y)}dy=0$

Уравнение $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ является в полных дифференциалах, поскольку выполняется равенство $M'_y(x;y)=N'_x(x;y)=-\dfrac{\sin 2x}{y^2}$

Если функция $F(x,y)$ удовлетворяет $F'_x(x;y)=M(x,y)$ и $F'_y(x,y)=N(x,y)$, то $F(x,y)=C$ - решение уравнения

Интегрируем функции F по переменной х

$F(x,y)=\displaystyle \int M(x,y)dx=\int\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)dx=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+C(y)$

Далее дифференцируем по у

$F'_y(x,y)=\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+C(y)\right)'_y=\dfrac{\cos 2x}{2y^2}+C'(y)$

Действительно, $F'_y(x,y)=N(x,y)=y-\dfrac{1-\cos 2x}{2y^2}$. Отсюда $C'(y)=y-\dfrac{1}{2y^2}~~~\Rightarrow~~~ C(y)=\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{1}{2y}$

Общий интеграл

$\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{1}{2y}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+\dfrac{x^2}{2}=C$