Question

Исследовать на сходимость ряд
Сумма от (n=1 до беск)
$\frac{(-1)^{[\sqrt{n} ]}}{n}$
в степени целая часть от корня.

Answer 1

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n}=-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}-\frac{1}{11}-\frac{1}{12}-\\ \\\frac{1}{13}-\frac{1}{14}-\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+...=-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{8}-\\ \\ -\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{15}\right)+...+(-1)^k\left(\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2+1}+...+\frac{1}{(k+1)^2-1}\right)+...$

Обозначим $a_k=\displaystyle \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2+1}+...+\frac{1}{(k+1)^2-1}$ и так как $a_k<\dfrac{2k+1}{k^2}\to0,~~ k\to \infty$

Рассмотрим разность двух соседних членов

$a_k-a_{k+1}=(2k+1)\displaystyle \sum^{2k}_{l=0}\frac{1}{(k^2+l)((k+1)^2+l)}-\frac{1}{k^2+4k+2}-\\ \\ \\ -\frac{1}{k^2+4k+3}>\frac{(2k+1)^2}{(k^2+2k)(k^2+4k+1)}-\frac{1}{k^2+4k+2}-\\ \\ \\ -\frac{1}{k^2+4k+3}>0$

Т. е. при $k\geq k_0$, $a_k>a_{k+1}$, то ряд $\displaystyle \sum^{\infty}_{k=1}(-1)^ka_k$ сходится по признаку Лейбница. Если взять по модулю данный ряд, то ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно