Question

Подскажите, как решаются уравнения высших степеней, у которых свободный член равен 1 или -1

Например:
$2x^{3} +7x^{2} +5x+1=0$

Answer 1

Нет универсального способа для решения уравнений , у

которых свободный член равен  1  ,  но есть способ получить

из уравнения , имеющего рациональные корни, уравнение с

целыми корнями , для этого подойдет следующее

утверждение :

Если уравнение имеет рациональные корни и первый

коэффициент равен 1 , то эти корни являются целыми .

Как сделать первый коэффициент, равным 1  покажу на вашем

примере :

умножим обе части уравнения на 4 :

8x³ + 28x²+ 20x + 4 = 0 или : (2x)³ + 7·(2x)² + 10·2x + 4 = 0 ;    пусть

2x = t ;  t³+ 7t²+ 10t + 4 = 0 ; если  это уравнение имеет

рациональные корни , то  они целые и являются делителями

числа 4 , проверкой убеждаемся , что -1  - корень , далее

схема Горнера ,  деление уголком или  разложение на

множители :  ( t³+1) + (7t²+10t+3) = 0  или :        

 (t+1)( t²-t+1) +(t+1)(7t+3) = 0  ;  (t+1)(t²+6t+4) = 0 ;  

 t = -1  или t = -3±√5  ⇒  x = -0,5  или x = (-3±√5)/2