Question

Можно ли найти такую натуральную степень числа 3, которая оканчивается на …0001?

Answer 1

вообще то это можно доказать для любого конечного число нулей, 01 001 0001 итд

то есть нам надо найти что существует число n∈N , при котором существует некая степень k, при которой 3^k - 1 делится на 10^n (в данном случае на 10000)

Смотрим на три в степени 3^1 3^2 3^3 ...таких чисел бесконечно много

Рассмотрим набор из 10000 степеней тройки и рассмотрим остатки от деления на 10000(в общем случае на 10^n)

Нацело ни одно из чисел на 10000 не делится но по принципу Дирихле существуют как минимум 2 числа имеющие одинаковые остатки

обозначим эти числа m > n, тогда

раз они имеют одинаковые остатки при делении на 10000 то разность их делится на 10000

3^m - 3^n = 3^n*(3^(m-n) - 1)

3^n не делится нацело на 10000

значит нацело целится 3^(m-n) - 1

и значит число 3^(m-n) оканчивается на 0001

Да такое число 10000 = 10^4 (в общем случае также доказывается)