Question

Помогите решить пожалуйста

Исследовать функцию на непрерывность и построить график

Answer 1

Внимание!

В условии задачи опечатки. Одна исправлена, а вторая - нет. Запишем условие задачи правильно.

ДАНО:

1) y(x) = x+1 при х<1

2) y(x) =  x² + 1   при   - 1 ≤ х ≤ 1

3) y(x) = 3/(1 - x)  при х > 1.

Пошаговое объяснение:

Три разных участка графика.

1) y = х +1 - прямая линия.

Построение по двум точкам, Например,

у= х + 1 = 0 получаем х = 1

х = -4 и у = -4+1 = - 3.

Важно! При Х=-1 функция не существует - точку (-1;0) изображаем в виде кольца ("дырки").

Область значений этой части функции -  Е(у)∈(-∞;0)

2) y = x² + 1 - парабола  поднятая на единицу вверх.

Для построения графика вычислим пять точек.

а) при  х = 0 и у(0) = 1

б) при х= ±0.5 функция y= 1/4 + 1 = 1.25.

в) при х= ±1 функция у = 1 + 1 = 2.

Здесь по краям области определения она существует - ставим "точки", .

3) y = 3/(1-x)  - гипербола.

Деление на 0 недопустимо. Находим область определения функции - D(y) ∈(1;+∞)

При x=1 - разрыв - вертикальная асимптота -   к ней стремится линия графика.

Построение графика по нескольким точкам.

При х = 1. 1,  у = 3/(-0,1) = - 30 (вне рисунка).

х = 1,5,   у = 3/(-0,5) = -6.

х = 2,  у = 3/(-1) = -3.

х = 3,  у = - 1,5

х = 4,  у = 3/(-3) = -1

х = 7,   у = 3/(-6) = - 0,5

Соединяем точки плавной линией.

График функции на рисунке в приложении.

На графике видно, что имеются два разрыва.

Если точки в разрыве имеют  конечные значения - это разрыв первого рода -  при Х = -1. Он неустранимый, так как значения рядом с точкой х = -1 разные.

При Х = +1 - разрыв II рода - там нет значений справа от Х = 1.

Слева от х = 1 функция  у = 2, а справа от х = 1 равна -∞.