Question

Найти корни из комплексного числа. Ответы записать в алгебраической форме и изобразить точками на комплексной плоскости: корень 4-й степени из -4

Answer 1

$\sqrt[4]{-4}$

Рассмотрим $z=-4$, модуль комплексного числа |z| = 4

$z=-4=4(-1+0i)=4\cdot \left(\cos \pi +i\sin \pi)$

$\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{4}\cdot \left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{4}+i\sin\frac{\pi +2\pi k}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{4}+i\sin\frac{\pi +2\pi k}{4}\right)$

где k = 0, 1, 2, 3.

$z_1=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=1+i\\ \\ z_2=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi+2\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1+i\\ \\ z_3=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi+4\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+4\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1-i$

$z_4=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi+6\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=1-i$

В числах $z_1,z_2,z_3,z_4$ их модуль равен $\sqrt{2}$