Question

решить уравнение...........................................................................

Answer 1

Задание. Решить уравнение:

√((x+4)(2x+3)) - 3√(x+8) = 4 - √((x+8)(2x+3)) + 3√(x+4)

Решение:

$\sqrt{(x+4)(2x+3)}-3\sqrt{x+8}=4-\sqrt{(x+8)(2x+3)}+3\sqrt{x+4}\\ \\ \sqrt{(x+4)(2x+3)}-3\sqrt{x+4}+\sqrt{(x+8)(2x+3)}-3\sqrt{x+8}=4\\ \\ \sqrt{x+4}\left(\sqrt{2x+3}-3\right)+\sqrt{x+8}\left(\sqrt{2x+3}-3\right)=4\\ \\ \left(\sqrt{2x+3}-3\right)\left(\sqrt{x+4}+\sqrt{x+8}\right)=\left(\sqrt{x+8}\right)^2-\left(\sqrt{x+4}\right)^2\\ \\ \left(\sqrt{2x+3}-3\right)\left(\sqrt{x+4}+\sqrt{x+8}\right)=(\sqrt{x+8}+\sqrt{x+4})(\sqrt{x+8}-\sqrt{x+4})\\ \\ (\sqrt{x+4}+\sqrt{x+8})\left(\sqrt{2x+3}-3-\sqrt{x+8}+\sqrt{x+4})=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю

$\sqrt{x+4}+\sqrt{x+8}=0$

Это уравнение решений не имеет, поскольку не выполняется одновременно$x+4=0$ и $x+8=0$ (левая часть положительно)

$\sqrt{2x+3}-3-\sqrt{x+8}+\sqrt{x+4}=0\\ \\ \sqrt{2x+3}-3=\sqrt{x+8}-\sqrt{x+4}$

Возводим обе части уравнения до квадрата

$2x+3-6\sqrt{2x+3}+9=x+4-2\sqrt{(x+4)(x+8)}+x+8\\ \\ 3\sqrt{2x+3}=\sqrt{(x+4)(x+8)}$

Снова возводим до квадрата обе части уравнения

$9(2x+3)=(x+4)(x+8)\\ 18x+27=x^2+12x+32\\ x^2-6x+5=0\\ x_1=1\\ x_2=5$

Если подставить корень х = 1 в уравнение то равенство не выполняется, т.е. корень посторонний. Для корня х = 5 равенство верно.

Ответ: х = 5.