Question

решить уравнение...........................................................................

Answer 1

Пример. Решить уравнение

√(2x^2-3+√(2x^2+x-3)) = x

Решение:

$\sqrt{2x^2-3+\sqrt{2x^2+x-3}}=x\\ \\ \sqrt{2x^2+x-3+\sqrt{2x^2+x-3}+\dfrac{1}{4}-x-\dfrac{1}{4}}=x\\ \\ \\ \sqrt{\left(\sqrt{2x^2+x-3}+\dfrac{1}{2}\right)^2}-x-\dfrac{1}{4}=x$

При условии, что $x\geq 0$, возводим обе части уравнения до квадрата, получим

$\left(\sqrt{2x^2+x-3}+\dfrac{1}{2}\right)^2-x-\dfrac{1}{4}=x^2\\ \\ \\ \left(\sqrt{2x^2+x-3}+\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)=0\\ \\ \\ \left(\sqrt{2x^2+x-3}+\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=0$

В левой части уравнения применим формулу разности квадратов

$\left(\sqrt{2x^2+x-3}+\dfrac{1}{2}+x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\sqrt{2x^2+x-3}+\dfrac{1}{2}-x-\dfrac{1}{2}\right)=0\\ \\ \\ \left(\sqrt{2x^2+x-3}+x+1\right)\left(\sqrt{2x^2+x-3}-x\right)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю.

$\sqrt{2x^2+x-3}+x+1=0$

При условии $x\geq0$ это уравнение решений не имеет.

Остается решить уравнение $\sqrt{2x^2+x-3}-x=0$

$\sqrt{2x^2+x-3}=x$

Возводим обе части уравнения до квадрата, получим

$2x^2+x-3=x^2\\ \\ x^2+x-3=0\\ \\ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot (-3)=1+12=13\\ \\ \\ x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$

Отрицательный корень $x=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}$