Question

Выполните задачи 1-2

Answer 1

$y=\dfrac{x^2-1}{x^2}=1-\dfrac{1}{x^2}$

График функции $y=\dfrac{1}{x^2}$ - четная и симметрична относительно оси ординат. Отобразив относительно оси ОХ получим график функции $y=-\dfrac{1}{x^2}$ и далее параллельно сдвинем на 1 ед. вверх. Здесь горизонтальная асимптота $y=\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to \infty}\dfrac{x^2-1}{x^2}=1$

Область значений функции: $E(y)=(-\infty;1)$

$\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{x+1}\leq 5\\ \\ \dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{x+1}-5\leq 0\\ \\ \dfrac{6(x+1)+6x-5x(x+1)}{x(x+1)}\leq 0\\ \\ \dfrac{6x+6+6x-5x^2-5x}{x(x+1)}\leq 0\\ \\ \dfrac{-5x^2+7x+6}{x(x+1)}\leq 0~~\bigg|\cdot (-1)\\ \\ \dfrac{5x^2-7x-6}{x(x+1)}\geq 0$

Здесь дробь существует когда знаменатель дроби не обращается к нулю, т.е. x ≠ 0 и x ≠ - 1. Далее решим уравнение

$\dfrac{5x^2-7x-6}{x(x+1)}=0\\ \\ 5x^2-7x-6=0\\ \\ D=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot 5\cdot (-6)=169\\ \\ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{7+13}{2\cdot 5}=2\\ \\ x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{7-13}{2\cdot 5}=-0.6$

Ответ: x ∈ (-∞; -1) ∪ [-0.6; 0) ∪ [2; +∞).