Question

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}} {tg^2(}x)} \, dx$

Необходимо полное и точное решение. Вознаграждение высокими баллами.

Answer 1

$\displaystyle \int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}}{\rm tg}^2x\,\,dx=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}}\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}}\dfrac{1-\cos^2x}{\cos^2x}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}}\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)dx=\\ \\ \\ =\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}}\dfrac{dx}{\cos^2x}-\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}}dx={\rm tg}\, x\bigg|^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}}-x\bigg|^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}}={\rm tg}\frac{\pi}{4}-{\rm tg}\frac{\pi}{6}-\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=$

$=1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{\pi}{12}$

Ответ: $\displaystyle \int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}}{\rm tg}^2x\,\,dx=1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{\pi}{12}.$

Answer 2

Ответ и решение во вложении